Добрый вечер! Спасибо за такое чёткое описание — вы молодец, что заметили это вовремя.
То, что вы видите на глазике — скорее всего выпадение железы третьего века (её ещё называют железой Гардера). Это у кошек бывает, хоть и реже, чем у собак, особенно у пород с крупными глазами и короткой мордой.
В домашних условиях, к сожалению, эту штуку «заправить» обратно не получится. Это не опасно «прямо сейчас», но если затянуть — может появиться раздражение, слезотечение и воспаление.
Лучше обратиться к ветеринарному офтальмологу — он осмотрит и подскажет, нужна ли операция. Сейчас такие железы не удаляют, а аккуратно вправляют и подшивают, чтобы сохранить функцию.
До визита можно капать увлажняющие капли (например, «Тауфон» или ветеринарные капли с гиалуронкой) 3 раза в день, чтобы глазику было комфортнее.
Так что да — визит к врачу нужен, но в панике мчаться ночью не надо. Спокойно запишитесь на ближайший осмотр